U610469 牢高的压轴题

题目背景

这是 ooliver 与 Deepseek 的聊天记录：

---老高太强了，这怎么玩？必须削弱！

Deepseek（已深度思考114514秒）∧ 有的兄弟，有的。

---那这题咋写?

Deepseek（已深度思考0秒）∨ 系统繁忙，请稍后再试。

题目描述

周清时间到了，来看看老高为你量身定制的压轴题吧：

已知 $x^2+xy+y^2=z$ $(x,y,z\in Z)$ ，并且现在告诉你 $z$ 的值，求 $x,y$ 的值。

如果有多组解，输出 $x$ 最小的那一组，如果有多组 $x$ 最小的解决，输出 $y$ 最小的那一组；如果无解，输出 No Answer。

输入格式

一行，一个整数 $z$。

输出格式

一行。

若有解，输出两个整数 $x,y$，用空格隔开。

若无解，输出果无解，输出 No Answer。

输入输出样例 #1

输入 #1

`12`

输出 #1

`-4 2`

输入输出样例 #2

输入 #2

`2022`

输出 #2

`No Answer`

说明/提示

分数数据范围 10pts$010pts$0 20pts$060pts$0

题解

这题是一道数学与数论结合的题目，题解只展示求解过程，层层递进的思考过程不予展示。

令 $z=2^i\mathrm{·}l(2\nmid l)$,

不难发现，当 $(2\nmid i)$ 时， 令 $x=2^{\frac{i-1}{2}}\mathrm{·}m\mathrm{，}y=2^{\frac{i-1}{2}}\mathrm{·}n.$ 原方程可列为 $m^2+mn+n^2=2l$ 此时分析奇偶，不难发现： 当 $m,n$ 同为奇或一奇一偶时，$m^2+mn+n^2$ 的值为奇数， 当 $m,n$ 同为偶时，$m^2+mn+n^2$ 的值为四的倍数， 又 $4\nmid 2l$ 且 $2\mid 2l$， $\mathrm{\therefore }$ 此时原方程无解，输出No Answer即可.

而发现，当 $(2\mid i)$ 时， 令 $x=2^{\frac{i}{2}}\mathrm{·}m\mathrm{，}y=2^{\frac{i}{2}}\mathrm{·}n.$ 原方程可列为 $m^2+mn+n^2=l$ 根据上方的奇偶分析可以知道，在这种情况下需要对 $m,n$ 的值进行枚举. $\mathrm{\because }{m}^2+mn+n^2=l$ $\mathrm{\therefore }(m+\frac{1}{4}n{)}^2+\frac{3}{4}{n}^2=l$ $\mathrm{\because }(m+\frac{1}{4}n{)}^2\mathrm{\ge }0$ $\mathrm{\therefore }\frac{3}{4}{n}^2\mathrm{\ge }l$ $\mathrm{\therefore }-\frac{2\sqrt{3n}}{3}\mathrm{\le }n\mathrm{\le }\frac{2\sqrt{3n}}{3}$ 同理，$\mathrm{\therefore }-\frac{2\sqrt{3n}}{3}\mathrm{\le }m\mathrm{\le }\frac{2\sqrt{3n}}{3}$ 所以将 $m$ 的值枚举并解关于 $n$ 的一元二次方程即可。

代码如下：

#include
using namespace std;
#define int long long
signed main(){
	int nnn,x,y;
	cin>>nnn; 
	int p=0,q=nnn;
	while(q%2==0) q/=2,p++;
	if(p%2!=1){
		for(int i=ceil(-(2.0*sqrt(3*q))/3.0);i

`#include
using namespace std;
#define int long long
signed main(){
	int nnn,x,y;
	cin>>nnn; 
	int p=0,q=nnn;
	while(q%2==0) q/=2,p++;
	if(p%2!=1){
		for(int i=ceil(-(2.0*sqrt(3*q))/3.0);i0;i++){
			int m=i;
			int a=1,b=m,c=m*m-q;
			int delta=b*b-4*a*c;
			if(delta0||sqrt(delta)*sqrt(delta)!=delta) continue;
			int n=LONG_LONG_MAX;
			if((int)(-b-sqrt(delta))%2==0) n=min((int)(-b-sqrt(delta))/2,n);
			else if((int)(-b+sqrt(delta))%2==0) n=min((int)(-b+sqrt(delta))/2,n);
			else continue;
			x=m*pow(2,p/2),y=n*pow(2,p/2);
			if(m*m+m*n+n*n==q){
                cout" "
    			return 0;
            }
		}
	}
	cout"No Answer";
	return 0;
}`